Одночлены и многочлены Алгебраические уравнения

Одночлены и многочлены

 Алгебраическое выражение это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и скобок.

Привести подобные члены в выражении

Корень n-ной степени Пусть и Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .

Упростить: 1) 2) 3)

Степень с произвольным показателем Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения a ^x и для любого действительного числа x ? Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x . Аналитическая геометрия Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Рациональные выражения

Математика лекции и примеры решения задач Системы линейных уравнений Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. Система, имеющая решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной.

Сократите дробь

Привести к общему знаменателю дроби Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле: Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Степень с целым показателем Было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.

Преобразовать в дробь степень

Свойства логарифмов Логарифмом числа b по основанию a ( b > 0, ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b :

Тригонометрические выражения В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°. Докажем, что отношения и не зависят от величины радиуса R . Действительно, выберем на отрезке OA точку такую, что Построим окружность с центром в начале координат радиуса

Функция y = cos x Синусом угла α называется ордината y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс. sin  α = y Функция y = ctg x

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A , имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1

Пример Найдите значения выражений

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен. Пример Упростите выражение

Найдите sin  x   и  cos  x , если и

Формулы сложения Упростите выражения: Формулы кратного аргумента

Упростите выражение

Формулы понижения степени

  ОДЗ ( областью допустимых значений ) уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его правая и левая части.

Линейные уравнения   Уравнение вида ax  +  b  = 0, где x − переменная, a  и   b − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше первой .

Квадратные уравнения Уравнение вида ax ²  +  bx  +  c  = 0, где x − переменная, a ,  b  и  c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй .

Алгебраические уравнения Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение (*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение. Решите уравнение

Разложение выражений на множители Пример Разложить на множители многочлен 3 x ³  –  x ²  – 3 x  + 1.

Замена переменных в уравнении Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу. Пример  Решите уравнение ( x ²  +  x  + 1)( x ²  +  x  + 2) = 12.

Равносильность уравнений Уравнением с одной переменной x называется выражение f  ( x ) =  g  ( x ), (1) Равносильны ли уравнения x  = 1 и

Пример Равносильны ли уравнения x  = 1 и x ( x  – 2) =  x  – 2? Пример Рассмотрим уравнение

Тригонометрические неравенства Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности. Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций.

Рациональные неравенства Решите неравенство

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде Иррациональные неравенства Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Решите неравенство Решите неравенство

Неравенства вида Решите неравенство Неравенства вида

Неравенства с модулем Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся. Решите неравенство Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0. Равносильны ли неравенства

Система неравенств с одной переменной Говорят, что несколько неравенств образуют систему , если нужно найти все общие решения данных неравенств. Решением системы неравенств называется число, которое при его подстановке в систему обращает каждое неравенство в верное числовое неравенство. Традиционно неравенства системы объединяются фигурной скобкой.