Дифференциальное исчисление функции Применение производной к исследованию функций Предел последовательности Вычислить производную функции Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Вычислить двойной интеграл

Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

Пример 2 Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Решение.
Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что


Рис.3
Рис.4

Заметим, что

Следовательно,

Таким образом, мы получаем

Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше).

Уравнение стороны можно переписать в виде

Найдем якобиан.

Следовательно, и двойной интеграл становится равным


   Пример 3
Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

Решение.
Область R схематически показана на рисунке 5.

Рис.5

Для упрощения области R сделаем замену переменных.

Образ S области R определяется следующим образом:

Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v.

Отсюда следует

Находим якобиан данного преобразования.

Соотношение между дифференциалами имеет вид

Теперь легко найти искомый интеграл:


Пример 4 Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Решение.
Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.

Рис.6
Рис.7

Сделаем следующую замену переменных:

Цель этой замены − упростить область интегрирования R.
Найдем образ S области R в новых координатах u, v.

Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан.

так что

Теперь можно вычислить двойной интеграл.


Метод замены переменной Вычислить интеграл . Решение. Применяем подстановку . Тогда или .
Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами
Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).
Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .
Определение производной.
Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.
Производную обозначают разными способами. Наиболее распространённые обозначения - . Чаще мы будем применять первое из этих обозначений. Таким образом, . Операция нахождения производной называется дифференцированием.
6.1.3. Геометрический смысл производной.
Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции.
Геометрический смысл производной у'(x0), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,y0=f(x0)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции |x| в точке (0,0). Чтобы в точке (x0,y0=f(x0)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. функции, графики которых имеют касательную в каждой точке), будем называть гладкими. Применяя известные формулы аналитической геометрии для прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, получаем:
уравнение касательной в точке (x0,y0=f(x0)): ;
уравнение нормали к графику функции в точке (x0,y0=f(x0)): (при условии, что у'(x0)¹0).