Дифференциальное
исчисление функции Применение
производной к исследованию функций Предел
последовательности
Вычислить производную функции
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов Пример
Вычислить двойной интеграл
Пример 4. Найти интеграл .
Решение. Отделим от нечетной степени один множитель:
.
Если положить , то
. Перейдем в интеграле к новой переменной t:
Возвратившись
к прежней переменной, получаем: .
Пример 2 Вычислить двойной интеграл
, в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями
.
Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные:
Решение.. Выразим
x, y черезu, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что
Заметим, что
Рис.3 Рис.4Следовательно,
Таким образом, мы получаем
Если![]()
, то
. Соответственно, если
, то
. Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше).
Уравнение стороныможно переписать в виде
Найдем якобиан.
Следовательно,![]()
и двойной интеграл становится равным
![]()
Пример 3
Вычислить интеграл
, где область R ограничена параболами
и гиперболами
.
Область R схематически показана на рисунке 5.
Решение.Для упрощения области R сделаем замену переменных.
Рис.5Образ S области R определяется следующим образом:
Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные![]()
x, y черезu, v .Отсюда следует
Находим якобиан данного преобразования.
Соотношение между дифференциалами имеет вид
Теперь легко найти искомый интеграл:![]()
![]()
Пример 4 Вычислить интеграл
, где область R ограничена прямыми
.
Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.
Решение.Сделаем следующую замену переменных:
Рис.6 Рис.7Цель этой замены − упростить область интегрирования R.![]()
Найдем образ S области R в новых координатахu, v .Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан.
так что
Теперь можно вычислить двойной интеграл.![]()
Метод замены переменной Вычислить интеграл. Решение. Применяем подстановку
. Тогда
или
.
Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами
![]()
Найти площадь треугольника с вершинами в точках
(0,0), (2,6) и (7,1). Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл
, преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор
круга радиусом
.
Определение производной.
Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.
Производную обозначают разными способами. Наиболее распространённые обозначения -
. Чаще мы будем применять первое из этих обозначений. Таким образом,
. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
6.1.3. Геометрический смысл производной.
Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции.
Геометрический смысл производной у'(x0), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,y0=f(x0)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции |x| в точке (0,0). Чтобы в точке (x0,y0=f(x0)) существовала касательная, необходимо существование предела
, т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. функции, графики которых имеют касательную в каждой точке), будем называть гладкими. Применяя известные формулы аналитической геометрии для прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, получаем:
уравнение касательной в точке (x0,y0=f(x0)):
;
уравнение нормали к графику функции в точке (x0,y0=f(x0)):
(при условии, что у'(x0)¹0).
Пример 5. Найти интеграл .
Решение. Понизим у и
степень с помощью следующих формул:
.
Тогда в исходном интеграле получим следующее:
Первый
интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени.
Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:
.