Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции

Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.

Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2 (рисунок 7).


Решение.
Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.
     
Найдем отдельно каждый из интегралов.
     
Следовательно, плошадь заданной области равна
     

Пример 8 Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде (рисунок 8).


Решение.
1) Применим сначала формулу . Получаем
     
Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:
Рис.8
Рис.9

 

Пример 9 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.


Решение.
Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле
     
Вычислим криволинейные интегралы
     
Следовательно, объем тела равен
     

Пример 10 Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 10).

Рис.10

Решение.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса
     
Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен
     
где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем
     
Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R)

равен .

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной - произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная. Поэтому ; ; …., .

6.11.3. Неинвариантность формы старших дифференциалов относительно замены переменной. В разделе 6.8.2. Инвариантность формы первого дифференциала мы доказали, что независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же: dy = y'dx. Покажем, что уже второй дифференциал этим свойством не обладает. Если х - независимая переменная, то d 2y = y"dx2. Если x = j(t), то d 2y = d(dу) = d(y'хdx) =

= d(y'х)dx + y'хd(dx). Для первого слагаемого вследствие инвариантности формы первого дифференциала d(y'х) = y"ххdx, для второго d(dx) = d 2x, поэтому окончательно d 2y = y"ххdx2+ y'хd 2x, что отличается от случая независимой переменной. Причина этого понятна: если х независимая переменная, то при нахождении второго дифференциала dx рассматривается как независимая от x константа; в случае x = j(t) дифференциал dx определяется дифференциалом dt.

6.11.4. Старшие производные функции, заданной параметрически. В разделе 6.10.1. Производные функций, заданных параметрически, для первой производной функции

  была получена формула . Если применить эту формулу к функции

  то получим: ; аналогично, применяя ту же формулу ко второй производной , получим выражение для третьей производной, и т.д. Так, для функции  мы получили . Найдем вторую производную: .

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример 7. Найти интеграл  .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье