Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции

Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:

Пример 1 Найти интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку:
     
Вычислим интеграл

     

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем следующую подстановку:
     
Тогда интеграл (обозначим его как I ) равен
     
Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь.
     
Находим искомый интеграл:

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в виде
     
Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену:
     
Получаем новый интеграл
     
Сделаем еще одну замену:
     
Находим окончательный ответ:
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в более удобном виде:
     
Сделаем подстановку:
     
Интеграл через новую переменную u имеет вид
     
Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель.
     
Окончательно получаем

     

 

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Перепишем интеграл в виде
     
Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку
     
Интеграл принимает вид
     
Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби.
     
После несложных преобразований получим окончательный ответ.
     

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку:
     
Получаем
     

Пример 7 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем подстановку
     
Тогда интеграл равен
     

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.

Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .

Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

Справа и ниже на рисунках приведены графики прямых и обратных гиперболических функций.

 


4.3. Последовательность и её предел.

4.3.1. Определение последовательности и её предела.

 Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Примеры:

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn=1, nÎN;

3). ; nÎN;

2). ; аn=, nÎN;

4).

Обозначать последовательность мы будем либо перечислением её членов, как в приведённых примерах, либо более краткой записью , либо просто . Так как множество  счётно, его члены могут быть пронумерованы, нижний индекс как раз и обозначает номер члена последовательности. В терминах функциональной зависимости последовательность можно определить как функцию натурального аргумента n, поэтому для последовательности имеют смысл введённые выше опр.4.1.3 -4.1.11, описывающие её свойства.

Далее символом N будет обозначаться не множество натуральных чисел, а некоторый элемент этого множества, т.е. просто некоторое натуральное число.

Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье