Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции

Математический анализ Вычислить интеграл

Для оценки точности в этом случаи используют метод двойного пересчета, который заключается в следующем: 1. Вычисляется интеграл с разбиением на n интервалов Увеличивают количество интервалов в два раза и получают новое приближение Чтобы определить как новое вычисленное значение отличается от истинного значения применяют правило Рунге: Для методов трапеции и прямоугольников

Непрерывность функций

Определение непрерывности по Гейне
Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке
( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что
выполняется соотношение
На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :
  1. Функция f (x) определена в точке x = a;
  2. Предел существует;
  3. Выполняется равенство .
Определение непрерывности по Коши (нотация )
Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению
выполняется неравенство
Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции
Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство
где .

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Теоремы непрерывности
Теорема 1.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке x = a, и C является константой. Тогда функция Сf (x) также непрерывна при x = a.

Теорема 2.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.

Теорема 3.
Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функций f (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.

Теорема 4.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций также непрерывно при x = a при условии, что .

Теорема 5.
Предположим, что функция f (x) является дифференцируемой в точке x = a. Тогда функция f (x) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, что
для всех x в интервале [a, b] (смотрите рисунок 1).

Рис.1
Рис.2
Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b]. Тогда, если c − некоторое число, большее f (a) и меньшее f (b), то существует число x0, такое, что
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

Непрерывность элементарных функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:
  1. Алгебраические многочлены ;

  2. Рациональные дроби ;

  3. Степенные функции ;

  4. Показательные функции ;

  5. Логарифмические функции ;

  6. Тригонометрические функции ;

  7. Обратные тригонометрические функции ;

  8. Гиперболические функции ;

  9. Обратные гиперболические функции .

 

  Пример 1 Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция непрерывна в произвольной точке x = a.


Решение.
Условие непрерывности по Гейне можно записать в виде
     
где Δx и Δy − малые приращения, показанные на рисунке 3. Для заданной функции справедливы следующие соотношения в точке x = a:
     
Следовательно,
     
Вычислим предел.
     
Таким образом, функция является непрерывной в произвольной точке x = a.
Рис.3
Рис.4

 

Пример 2 Используя определение непрерывности в терминах приращений, показать, что функция непрерывна в любой точке своей области определения.


Решение.
Функция секанс определена для всех действительных x, за исключением точек
     
где косинус равен нулю. Обозначим дифференциал независимой переменной x через Δx. Вычислим соответствующий дифференциал функции Δy.
     
Перейдем к пределу при .
     
Полученный результат справедлив для всех x за исключением нулей косинуса:
     

Следовательно, область непрерывности и область определения функции совпадают.

   Пример 3

Используя определение непрерывности по Коши, доказать, что .


Решение.
Пусть . Мы должны найти некоторое число , такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству
     
будет выполнено соотношение
     
Последнее неравенство можно записать в виде
     
Следовательно,
     
Отсюда следует неравенство для абсолютного значения :
     
Таким образом, если мы выберем , то для всех x, удовлетворяющих неравенству , получим . Например, если ε = 0.1, то . Это означает по определению Коши, что
     

  Пример 4
Показать, что кубическое уравнение имеет решение в интервале (2,3).


Решение.
Пусть . Вычислим значения функции при x = 2 и x = 3.
     
Мы получили, что f (2) < 0 и f (3) > 0, или
     

По теореме о промежуточном значении это означает, что в интервале (2,3) существует такое число c, что . Таким образом, данное уравнение имеет решение в интервале (2,3).


  Пример 5 Показать, что уравнение имеет, по крайней мере, один корень.


Решение.
Поскольку функция является полиномом, то она непрерывна. Заметим, что
     

Поэтому . По теореме о промежуточном значении можно сделать вывод, что в интервале (0,1) существует число c, такое, что . Таким образом, уравнение имеет корень в интервале (0,1).

   Пример 6 Задана функция

     
Определить коэффициенты a и b, при которых функция f (x) является всюду непрерывной.

Решение.
Найдем левосторонний предел функции в точке x = 0.
     
Следовательно, значение ax + b в точке x = 0 должно быть равно 2.
     
Аналогично, находим правосторонний предел при x = 1.
     
Как видно, значение ax + 2 в точке x = 1 должно быть равно 4.
     
При данных значениях a и b функция f (x)

будет непрерывной. График функции схематически показан

   Пример 7 Если функция

     
непрерывна, то чему равно a?

Решение.
Вычислим левосторонние и правосторонние пределы функции при x = −1.
     
Функция будет непрерывной в точке x = −1, если
     
Следовательно,      

Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Ограниченность непрерывных на отрезке функций Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.

Определение предела функции Используя - определение предела, показать что .

 Аналогично изложенному выше, с заменой (х-а)k на , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х®¥.

Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):

1. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

2. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=2 – порядок малости f(x) при х®¥ по сравнению с .

3. . С помощью формул 4,6 таблицы 4.4.10 представим f(x) в виде . Здесь , , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

4. . Так как f(-2) = 0, то , и многочлен  делится на х + 2 без остатка. Произведя деление, получим . Так как и f1(-2) = 0, то , поэтому , где . Результат: ,  - главная часть f(x), k=2 – порядок малости f(x) при х®-2.

5. . ~, где . Поэтому ,  - главная часть , k=5/6 (относительно БМ ) при .

В следующих задачах решение излагается более кратко.

6.

7. .

8. .

9.

  Неаккуратность при решении последнего примера даст результат

  верный, но бесполезный.

10. Пусть х ®+0. Тогда

 

 Если рассматривается случай х®а ¹ 0, часто полезно сделать замену переменной у= х-а.

Программа вычисления интегралов с заданной точностью. Оценка точности будет производится по формуле Рунге: Алгоритм заключается в сравнении значений интеграла вычисленных с одним и двумя интервалами разбиения, затем с двумя и четырьмя интервалами, потом четырьмя и восьмью и т.д. пока разница между этими значениями не станет меньше заданной точности. Для записи этого алгоритма используем цикл WHILE.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье