Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции

Математический анализ Вычислить интеграл

Для оценки точности в этом случаи используют метод двойного пересчета, который заключается в следующем: 1. Вычисляется интеграл с разбиением на n интервалов Увеличивают количество интервалов в два раза и получают новое приближение Чтобы определить как новое вычисленное значение отличается от истинного значения применяют правило Рунге: Для методов трапеции и прямоугольников

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа
Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя .

Неопределенности типа
Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем
     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
     
(Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.)

Аналогично,
     
Таким образом, предел равен
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Подстановка показывает, что функция имеет неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на x3 (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем

     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.
Перепишем знаменатель в виде
     
и разложим его как разность кубов:
     
В результате можно найти предел:
     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену переменной: . Тогда . Получаем
     
Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения . В результате находим значение предела

     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Если , то
     
Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение.
     
Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:
     

Пример 7 Найти предел .


Решение.
Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Разделим числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени). Получаем
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Используя формулы
     
преобразуем предел и найдем его значение:
     

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Пусть . Тогда при . Следовательно,
     

Пример 11 Найти предел .


Решение.
Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение . Получаем
     
Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при . Следовательно, разделим числитель и знаменатель на - то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда
     

 

  Пример 12 Найти предел .


Решение.
Используя тригонометричское тождество , перепишем предел в следующем виде
     
В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при . Поэтому, окончательный ответ равен      

Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию на непрерывность.

Геометрическая прогрессия Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).    

Правило Лопиталя Вычислить предел . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n£ x <n+1. Если x ®+¥, то и n®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства  вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим . Предел правого члена при n®¥ равен числу е, предел левого  тоже равен числу е. По теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции $, и он тоже равен числу е. Далее, , и снова применяя теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции, получаем, что  существует и равен числу е.

Пусть теперь x ®-¥. Введём новую переменную y=-x-1,тогда x=-y-1, и y®+¥ при x ®-¥. . Доказано, что односторонние пределы при x ®±¥ существуют и равныÞ(по теор. 4.4.1) $.

4.4.7.2.1. Эквивалентная форма второго замечательного предела:  (сводится к предыдущему случаю заменой ).

4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.

4.4.7.3.1. . Док-во:  .

4.4.7.3.2. . Док-во:  . (Здесь мы пользуемся непрерывностью функции .) Следствие: 4.4.7.3.2.1. .

4.4.7.3.3. . Док-во: заменим переменную  .

Следствие: 4.4.7.3.3.1. . 

Программа вычисления интегралов с заданной точностью. Оценка точности будет производится по формуле Рунге: Алгоритм заключается в сравнении значений интеграла вычисленных с одним и двумя интервалами разбиения, затем с двумя и четырьмя интервалами, потом четырьмя и восьмью и т.д. пока разница между этими значениями не станет меньше заданной точности. Для записи этого алгоритма используем цикл WHILE.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье