Интегрирование
по частям Пример Найти
интеграл Криволинейные
интегралы первого рода
Физические приложения двойных
интегралов Вычислить
поверхностный интеграл Найти
разложение в ряд Фурье функции
Раскрытие неопределенностей
Неопределенности типаПусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом случае говорят, что функция![]()
имеет неопределенность типа
в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция
содержит неопределенность
, нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.
Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя .
Неопределенности типаПусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция![]()
имеет в точке a неопределенность типа
. Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.
Неопределенности типаНеопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа![]()
и
.
Пример 1 Вычислить предел
.
Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность
Решение.в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем
![]()
Пример 2 Вычислить предел
.
Функция имеет неопределенность типа
Решение.в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
(Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.)![]()
Аналогично,Таким образом, предел равен![]()
![]()
Пример 3 Вычислить предел
.
Подстановка
Решение.показывает, что функция имеет неопределенность типа
. Разделим числитель и знаменатель на x3 (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем
![]()
Пример 4 Вычислить предел
.
Перепишем знаменатель в виде
Решение.и разложим его как разность кубов:
В результате можно найти предел:![]()
![]()
Пример 5 Вычислить предел
.
Сделаем замену переменной:
Решение.. Тогда
. Получаем
Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения![]()
. В результате находим значение предела
![]()
Пример 6 Вычислить предел
.
Если
Решение., то
Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа![]()
. Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение.
Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:![]()
![]()
Пример 7 Найти предел
.
Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.
Решение.![]()
Пример 8 Найти предел
.
Разделим числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени). Получаем
Решение.![]()
Пример 9 Найти предел
.
Используя формулы
Решение.преобразуем предел и найдем его значение:![]()
![]()
Пример 10 Найти предел
.
Пусть
Решение.. Тогда
при
. Следовательно,
![]()
Пример 11 Найти предел
.
Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение
Решение.. Получаем
Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при![]()
. Следовательно, разделим числитель и знаменатель на
- то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда
![]()
Пример 12 Найти предел
.
Используя тригонометричское тождество
Решение., перепишем предел в следующем виде
В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при![]()
. Поэтому, окончательный ответ равен
![]()
Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию
на непрерывность.
Геометрическая прогрессия Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...
Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).
![]()
Правило Лопиталя Вычислить предел
. Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:
Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $
. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что
. Пусть n=E(x), тогда n£ x <n+1. Если x ®+¥, то и n®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства
вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим
. Предел правого члена при n®¥ равен числу е, предел левого
тоже равен числу е. По теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции $
, и он тоже равен числу е. Далее,
, и снова применяя теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции, получаем, что
существует и равен числу е.
Пусть теперь x ®-¥. Введём новую переменную y=-x-1,тогда x=-y-1, и y®+¥ при x ®-¥.
. Доказано, что односторонние пределы при x ®±¥ существуют и равныÞ(по теор. 4.4.1) $
.
4.4.7.2.1. Эквивалентная форма второго замечательного предела:
(сводится к предыдущему случаю заменой
).
4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.
4.4.7.3.1.
. Док-во:
![]()
.
4.4.7.3.2.
. Док-во:
![]()
. (Здесь мы пользуемся непрерывностью функции
.) Следствие: 4.4.7.3.2.1.
.
4.4.7.3.3.
. Док-во: заменим переменную
![]()
.
Следствие: 4.4.7.3.3.1.
.
Программа вычисления интегралов с заданной точностью.
Оценка точности будет производится по формуле Рунге:
Алгоритм заключается в сравнении значений интеграла вычисленных с одним и двумя интервалами разбиения, затем с двумя и четырьмя интервалами, потом четырьмя и восьмью и т.д. пока разница между этими значениями не станет меньше заданной точности. Для записи этого алгоритма используем цикл WHILE.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье